مقالات

15.3E: تمارين للقسم 15.3 - الرياضيات


1. حقيقي أو خاطئة؟ إذا كان حقل المتجه ( vecs F ) محافظًا على المنطقة المفتوحة والمتصلة (D ) ، فإن تكاملات الخط ( vecs F ) هي مسار مستقل على (D ) ، بغض النظر عن شكل (د).

إجابه:
حقيقي

2. حقيقي أو خاطئة؟ الوظيفة ( vecs r (t) = vecs a + t ( vecs b− vecs a) ) ، حيث (0≤t≤1 ) ، يحدد معلمات مقطع الخط المستقيم من ( vecs a ) إلى ( vecs ب ).

إجابه:
حقيقي

3. حقيقي أو خاطئة؟ حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = (y sin z) ، mathbf { hat i} + (x sin z) ، mathbf { hat j} + (xy cos z) ، mathbf { hat k} ) محافظ.

إجابه:
حقيقي

4. حقيقي أو خاطئة؟ حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = y ، mathbf { hat i} + (x + z) ، mathbf { hat j} −y ، mathbf { hat k } ) محافظ.

5. قم بتبرير النظرية الأساسية لتكامل الخط من أجل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) في الحالة عندما ( vecs {F} (x، y) = (2x + 2y) ، mathbf { hat i} + (2x + 2y) ، mathbf { hat j} ) و (C ) جزء من الدائرة الموجبة بشكل إيجابي (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) من ((5 ، 0) ) إلى ((3 ، 4). )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = 24 ) وحدات العمل

6. [T] أوجد ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r، ) حيث ( vecs {F} (x، y) = (ye ^ {xy} + cos x)، mathbf { قبعة i} + left (xe ^ {xy} + frac {1} {y ^ 2 + 1} right) ، mathbf { hat j} ) و (C ) جزء من المنحنى (y = sin x ) من (x = 0 ) إلى (x = frac {π} {2} ).

7. [T] تقييم تكامل الخط ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) حيث ( vecs {F} (x، y) = (e ^ x sin y − y) mathbf { hat i} + (e ^ x cos y − x − 2) ، mathbf { hat j} ) ، و (C ) هو المسار المعطى بواسطة ( vecs r (t) = ( t ^ 3 sin frac {πt} {2}) ، mathbf { hat i} - ( frac {π} {2} cos ( frac {πt} {2} + frac {π} {2})) ، mathbf { hat j} ) لـ (0≤t≤1 ).

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = left (e− frac {3π} {2} right) ) وحدات العمل

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، وإذا كان كذلك ، فابحث عن الوظيفة المحتملة.

8. ( vecs {F} (x، y) = 2xy ^ 3 ، mathbf { hat i} + 3y ^ 2x ^ 2 ، mathbf { hat j} )

9. ( vecs {F} (x، y) = (- y + e ^ x sin y) ، mathbf { hat i} + ((x + 2) e ^ x cos y) ، mathbf { hat j} )

إجابه:
غير متحفظ

10. ( vecs {F} (x، y) = (e ^ {2x} sin y) ، mathbf { hat i} + (e ^ {2x} cos y) ، mathbf { hat ي} )

11. ( vecs {F} (x، y) = (6x + 5y) ، mathbf { hat i} + (5x + 4y) ، mathbf { hat j} )

إجابه:
محافظة ، (f (x، y) = 3x ^ 2 + 5xy + 2y ^ 2 + k )

12. ( vecs {F} (x، y) = (2x cos (y) −y cos (x)) ، mathbf { hat i} + (- x ^ 2 sin (y) - الخطيئة (س)) ، mathbf { قبعة ي} )

13. ( vecs {F} (x، y) = (ye ^ x + sin (y)) ، mathbf { hat i} + (e ^ x + x cos (y)) ، mathbf { قبعة ي} )

إجابه:
محافظة ، (f (x، y) = ye ^ x + x sin (y) + k )

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم تكاملات الخط باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

14. ( displaystyle ∮_C (y ، mathbf { hat i} + x ، mathbf { hat j}) · d vecs r، ) حيث (C ) هو أي مسار من (( 0 ، 0) ) إلى ((2 ، 4) )

15. ( displaystyle ∮_C (2y ، dx + 2x ، dy)، ) حيث (C ) هو مقطع خط من ((0، 0) ) إلى ((4، 4) )

إجابه:
( displaystyle ∮_C (2y ، dx + 2x ، dy) = 32 ) وحدات العمل

16. [T] ( displaystyle ∮_C left [ arctan dfrac {y} {x} - dfrac {xy} {x ^ 2 + y ^ 2} right] ، dx + left [ dfrac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} + e ^ {- y} (1 − y) right] ، dy ) ، حيث (C ) هو أي منحنى سلس من ((1، 1) ) إلى ((- 1،2). )

17. ابحث عن حقل المتجه المحافظ للدالة المحتملة (f (x، y) = 5x ^ 2 + 3xy + 10y ^ 2. )

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = (10x + 3y) ، mathbf { hat i} + (3x + 20y) ، mathbf { hat j} )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، وإذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن وظيفة محتملة.

18. ( vecs {F} (x، y) = (12xy) ، mathbf { hat i} +6 (x ^ 2 + y ^ 2) ، mathbf { hat j} )

19. ( vecs {F} (x، y) = (e ^ x cos y) ، mathbf { hat i} +6 (e ^ x sin y) ، mathbf { hat j} )

إجابه:
( vecs F ) ليس متحفظًا.

20. ( vecs {F} (x، y) = (2xye ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { hat i} +6 (x ^ 2e ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { قبعة ي} )

21. ( vecs F (x، y، z) = (ye ^ z) ، mathbf { hat i} + (xe ^ z) ، mathbf { hat j} + (xye ^ z) ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والوظيفة المحتملة هي (f (x، y، z) = xye ^ z + k ).

22. ( vecs F (x، y، z) = ( sin y) ، mathbf { hat i} - (x cos y) ، mathbf { hat j} + ، mathbf { قبعة ك} )

23. ( vecs F (x، y، z) = dfrac {1} {y} ، mathbf { hat i} - dfrac {x} {y ^ 2} ، mathbf { hat j} + (2z − 1) ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والدالة المحتملة هي (f (x، y، z) = dfrac {x} {y} + z ^ 2-z + k. )

24. ( vecs F (x، y، z) = 3z ^ 2 ، mathbf { hat i} - cos y ، mathbf { hat j} + 2xz ، mathbf { hat k} )

25. ( vecs F (x، y، z) = (2xy) ، mathbf { hat i} + (x ^ 2 + 2yz) ، mathbf { hat j} + y ^ 2 ، mathbf { قبعة ك} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والوظيفة المحتملة هي (f (x، y، z) = x ^ 2y + y ^ 2z + k. )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان حقل المتجه المحدد متحفظًا وابحث عن وظيفة محتملة.

26. ( vecs {F} (x، y) = (e ^ x cos y) ، mathbf { hat i} +6 (e ^ x sin y) ، mathbf { hat j} )

27. ( vecs {F} (x، y) = (2xye ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { hat i} +6 (x ^ 2e ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { قبعة ي} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والوظيفة المحتملة هي (f (x، y) = e ^ {x ^ 2y} + k )

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم التكامل باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

28. قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r ) حيث (f (x، y، z) = cos (πx) + sin (πy) −xyz) و ( C ) هو أي مسار يبدأ عند ((1،12،2) ) وينتهي عند ((2،1، −1) ).

29. [T] قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r ) حيث (f (x، y) = xy + e ^ x ) و (C ) هو خط مستقيم من ( من (0،0) ) إلى ((2،1) ).

إجابه:
(displaystyle int _C vecs F · d vecs r = left (e ^ 2 + 1 right)) وحدات العمل

30. [T] قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r، ) حيث (f (x، y) = x ^ 2y − x ) و (C ) هو أي مسار في مستوى من (1 ، 2) إلى (3 ، 2).

31. قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r، ) حيث (f (x، y، z) = xyz ^ 2 − yz) و (C ) لها نقطة أولية ( (1، 2، 3) ) ونقطة طرفية ((3، 5، 2). )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = 38 ) وحدات العمل

للتمارين التالية ، دعنا ( vecs {F} (x، y) = 2xy ^ 2 ، mathbf { hat i} + (2yx ^ 2 + 2y) ، mathbf { hat j} ) و (G (x، y) = (y + x) ، mathbf { hat i} + (y − x) ، mathbf { hat j} )، وليكن (C_1 ) هو المنحنى الذي يتكون من دائرة نصف القطر 2 ، تتمحور في الأصل وموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة ، و (C_2 ) يكون المنحنى المكون من مقطع خطي من ((0 ، 0) ) إلى ((1 ، 1) ) متبوعًا بمقطع خط من ((1 ، 1) ) إلى ((3 ، 1). )

32. احسب تكامل خط ( vecs F ) على (C_1 ).

33. احسب تكامل خط ( vecs G ) على (C_1 ).

إجابه:
( displaystyle ∮_ {C_1} vecs G · d vecs r = −8π ) وحدات العمل

34. احسب تكامل خط ( vecs F ) على (C_2 ).

35. احسب تكامل خط ( vecs G ) على (C_2 ).

إجابه:
( displaystyle ∮_ {C_2} vecs F · d vecs r = 7 ) وحدات العمل

36. [T] دع ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 ، mathbf { hat i} + z sin (yz) ، mathbf { hat j} + y sin (yz) ، mathbf { hat k} ). احسب ( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs {r} ) حيث (C ) هو مسار من (A = (0،0،1) ) إلى (B = (3) ، 1،2) ).

37. [T] ابحث عن سطر متكامل ( displaystyle ∮_C vecs F · dr ) من حقل متجه ( vecs F (x، y، z) = 3x ^ 2z ، mathbf { hat i} + z ^ 2 ، mathbf { hat j} + (x ^ 3 + 2yz) ، mathbf { hat k} ) بطول المنحنى (C ) معلمات بواسطة ( vecs r (t) = ( frac { ln t} { ln 2}) ، mathbf { hat i} + t ^ {3/2} ، mathbf { hat j} + t cos (πt)، 1≤t≤4. )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = 150 ) وحدات العمل

بالنسبة للتمارين 38-40 ، أظهر أن الحقول الموجهة التالية متحفظة. ثم احسب ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) لمنحنى معين.

38. ( vecs {F} (x، y) = (xy ^ 2 + 3x ^ 2y) ، mathbf { hat i} + (x + y) x ^ 2 ، mathbf { hat j} ) ؛ (C ) هو المنحنى الذي يتكون من مقاطع خطية من ((1،1) ) إلى ((0،2) ) إلى ((3،0). )

39. ( vecs {F} (x، y) = dfrac {2x} {y ^ 2 + 1} ، mathbf { hat i} - dfrac {2y (x ^ 2 + 1)} {(y ^ 2 + 1) ^ 2} ، mathbf { hat j} ) ؛ (C ) معلمات بواسطة (x = t ^ 3−1، ؛ y = t ^ 6 − t ) ، لـ (0≤t≤1. )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = −1 ) وحدات العمل

40. [T] ( vecs {F} (x، y) = [ cos (xy ^ 2) −xy ^ 2 sin (xy ^ 2)] ، mathbf { hat i} −2x ^ 2y sin (xy ^ 2) ، mathbf { hat j} ) ؛ (C ) هو المنحنى ( langle e ^ t، e ^ {t + 1} rangle، ) لـ (- 1≤t≤0 ).

41. تبلغ كتلة الأرض تقريبًا (6 × 10 ^ {27} جم ) وتبلغ كتلة الشمس 330 ألف ضعف. ثابت الجاذبية هو (6.7 × 10 ^ {- 8} cm ^ 3 / s ^ 2 · g ). تبلغ المسافة بين الأرض والشمس حوالي (1.5 × 10 ^ {12} سم ). احسب تقريبًا العمل اللازم لزيادة المسافة بين الأرض والشمس بمقدار (1 ؛ سم ).

إجابه:
(4 × 10 ^ {31} ) إر

42. [T] دعونا ( vecs {F} (x، y، z) = (e ^ x sin y) ، mathbf { hat i} + (e ^ x cos y) ، mathbf { hat j } + z ^ 2 ، mathbf { hat k} ). احسب التكامل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) حيث ( vecs r (t) = langle sqrt {t}، t ^ 3، e ^ { sqrt {t }} rangle ، ) لـ (0≤t≤1. )

43. [T] لنفترض أن (C: [1،2] → ℝ ^ 2 ) يُعطى بواسطة (x = e ^ {t − 1}، y = sin left ( frac {π} {t} right) ). استخدم الكمبيوتر لحساب التكامل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = int _C 2x cos y ، dx − x ^ 2 sin y ، dy ) حيث ( vecs {F} (x، y) = (2x cos y) ، mathbf { hat i} - (x ^ 2 sin y) ، mathbf { hat j}. )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs s = 0.4687 ) وحدات العمل

44. [T] استخدم نظام الجبر الحاسوبي لإيجاد كتلة السلك الذي يقع على طول المنحنى ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) ، mathbf { hat j} + 2t ، mathbf { hat k} ، ) حيث (0≤t≤1 ) ، إذا كانت الكثافة معطاة بواسطة (d (t) = dfrac {3} {2} t ).

45. ابحث عن دوران وتدفق الحقل ( vecs {F} (x، y) = - y ، mathbf { hat i} + x ، mathbf { hat j} ) حول وعبر نصف دائري مغلق المسار الذي يتكون من قوس نصف دائري ( vecs r_1 (t) = (a cos t) ، mathbf { hat i} + (a sin t) ، mathbf { hat j}، quad 0 ≤t≤π ) متبوعًا بقطعة سطر ( vecs r_2 (t) = t ، mathbf { hat i}، quad −a≤t≤a. )

إجابه:
( نص {تدوير} = πa ^ 2 ) و ( نص {تدفق} = 0 )

46. احسب ( displaystyle int _C cos x cos y ، dx− sin x sin y ، dy، ) حيث ( vecs r (t) = langle t، t ^ 2 rangle، رباعي 0≤t≤1. )

47. أكمل إثبات النظرية المسماة اختبار استقلالية المسار للحقول المحافظة بإظهار أن (f_y = Q (x، y). )

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.