مقالات

3.5: حل المعادلات المثلثية


أهداف التعلم

  • حل المعادلات المثلثية الخطية في الجيب وجيب التمام.
  • حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية واحدة.
  • حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة.
  • حل المعادلات المثلثية ذات الشكل التربيعي.
  • حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات الأساسية.
  • حل المعادلات المثلثية ذات الزوايا المتعددة.
  • حل مسائل المثلث القائم الزاوية.

يُعرف طاليس من ميليتس (حوالي 625-547 قبل الميلاد) بأنه مؤسس الهندسة. الأسطورة هي أنه حسب ارتفاع الهرم الأكبر بالجيزة في مصر باستخدام نظرية مثلثات متشابهةالذي طوره بقياس ظل عصاه. استنادًا إلى النسب ، فإن لهذه النظرية تطبيقات في عدد من المجالات ، بما في ذلك الهندسة الكسورية والهندسة والهندسة المعمارية. غالبًا ما يتم العثور على زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض باستخدام مثلثات متشابهة.

في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، نظرنا في المتطابقات المثلثية. في هذا القسم ، نبدأ دراستنا للمعادلات المثلثية لدراسة سيناريوهات العالم الحقيقي مثل إيجاد أبعاد الأهرامات.

حل المعادلات المثلثية الخطية في الجيب وجيب التمام

المعادلات المثلثية هي ، كما يوحي الاسم ، معادلات تتضمن الدوال المثلثية. متشابهة من نواحٍ عديدة لحل المعادلات متعددة الحدود أو المعادلات المنطقية ، فقط القيم المحددة للمتغير ستكون حلولًا ، إذا كانت هناك حلول على الإطلاق. غالبًا ما نحل المعادلة المثلثية خلال فترة زمنية محددة. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، سيُطلب منا إيجاد جميع الحلول الممكنة ، وبما أن الدوال المثلثية دورية ، تتكرر الحلول خلال كل فترة. بمعنى آخر ، قد تحتوي المعادلات المثلثية على عدد لا حصر له من الحلول. بالإضافة إلى ذلك ، مثل المعادلات المنطقية ، يجب النظر في مجال الوظيفة قبل أن نفترض أن أي حل صالح. ال فترة لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام هي (2 pi ). بمعنى آخر ، كل (2 pi ) وحدة ، فإن ملف ص-تكرار القيم. إذا احتجنا إلى إيجاد جميع الحلول الممكنة ، فعلينا إضافة (2 pi k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح ، إلى الحل الأولي. تذكر القاعدة التي تعطي التنسيق لذكر جميع الحلول الممكنة لوظيفة حيث تكون الفترة (2 pi ):

[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]

توجد قواعد مماثلة للإشارة إلى جميع الحلول الممكنة للدوال المثلثية الأخرى. يتطلب حل المعادلات المثلثية نفس تقنيات حل المعادلات الجبرية. نقرأ المعادلة من اليسار إلى اليمين ، أفقيًا ، مثل الجملة. نبحث عن الأنماط المعروفة ، والعوامل ، والعثور على قواسم مشتركة ، واستبدال تعبيرات معينة بمتغير لنجعل حل عملية أكثر وضوحًا. ومع ذلك ، مع المعادلات المثلثية ، لدينا أيضًا ميزة استخدام الهويات التي قمنا بتطويرها في الأقسام السابقة.

مثال ( PageIndex {1A} ): حل معادلة خطية مثلثية تتضمن دالة جيب التمام

ابحث عن جميع الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة ( cos theta = dfrac {1} {2} ).

المحلول

من دائرة الوحدة ، نعرف ذلك

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} [4pt] theta & = dfrac { pi} {3} ، space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]

هذه هي الحلول في الفاصل ([0،2 pi] ). يتم تقديم جميع الحلول الممكنة بواسطة

[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {and} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi nonumber ]

حيث (ك ) عدد صحيح.

مثال ( PageIndex {1B} ): حل معادلة خطية تتضمن دالة الجيب

ابحث عن جميع الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة ( sin t = dfrac {1} {2} ).

المحلول

يعني حل جميع القيم الممكنة لـ (t ) أن الحلول تشمل زوايا تتجاوز فترة (2 pi ). من القسم الخاص بمطابقات الجمع والفرق ، يمكننا أن نرى أن الحلول هي (t = dfrac { pi} {6} ) و (t = dfrac {5 pi} {6} ). لكن المشكلة تطلب جميع القيم الممكنة التي تحل المعادلة. لذلك ، الجواب

[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {and} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k nonumber ]

حيث (ك ) عدد صحيح.

Howto: إعطاء معادلة مثلثية ، حل باستخدام الجبر

  1. ابحث عن نمط يشير إلى خاصية جبرية ، مثل اختلاف المربعات أو فرصة التحليل.
  2. استبدل التعبير المثلثي بمتغير واحد ، مثل (x ) أو (u ).
  3. حل المعادلة بنفس طريقة حل المعادلة الجبرية.
  4. استبدل التعبير المثلثي مرة أخرى بالمتغير في التعبيرات الناتجة.
  5. حل من أجل الزاوية.

مثال ( PageIndex {2} ): حل المعادلة الخطية المثلثية

حل المعادلة بالضبط: (2 cos theta − 3 = −5 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

استخدم الأساليب الجبرية لحل المعادلة.

[ start {align *} 2 cos theta-3 & = -5 2 cos theta & = -2 cos theta & = -1 theta & = pi end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

حل المعادلة الخطية التالية بالضبط على الفاصل ([0،2 pi) ): (2 sin x + 1 = 0 ).

إجابه

(x = dfrac {7 pi} {6}، space dfrac {11 pi} {6} )

حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية واحدة

عندما نحصل على معادلات تتضمن واحدة فقط من الدوال المثلثية الست ، فإن حلولها تتضمن استخدام التقنيات الجبرية ودائرة الوحدة (انظر [الرابط]). نحتاج إلى وضع العديد من الاعتبارات عندما تتضمن المعادلة دوال مثلثية بخلاف الجيب وجيب التمام. يجب النظر إلى المشكلات التي تنطوي على عمليات تبادل للدوال المثلثية الأولية من منظور جبري. بعبارة أخرى ، سنكتب دالة المقلوب ، ونوجد قيمة الزوايا باستخدام الدالة. أيضًا ، تختلف المعادلة التي تتضمن دالة الظل اختلافًا طفيفًا عن المعادلة التي تحتوي على دالة الجيب أو دالة جيب التمام. أولاً ، كما نعلم ، فإن فترة الظل هي ( pi ) ، وليست (2 pi ). علاوة على ذلك ، فإن مجال الظل هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء مضاعفات الأعداد الصحيحة الفردية لـ ( dfrac { pi} {2} ) ، ما لم تفرض مشكلة قيودها الخاصة على المجال بالطبع.

حل مشكلة تتضمن دالة مثلثية واحدة

حل المشكلة تمامًا: (2 { sin} ^ 2 theta − 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

نظرًا لأنه لا يمكن تحليل هذه المشكلة بسهولة ، فسنحلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي. أولاً ، نستخدم الجبر لعزل ( sin theta ). ثم سنجد الزوايا.

[ ابدأ {محاذاة *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0
2 { sin} ^ 2 ثيتا & = 1
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2}
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}}
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}}
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2}
theta & = dfrac { pi} {4} ، space dfrac {3 pi} {4} ، space dfrac {5 pi} {4} ، space dfrac {7 pi} {4 }
النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {3B} ): حل معادلة مثلثية تتضمن قاطع التمام

حل المعادلة التالية بالضبط: ( csc theta = −2 ) ، (0≤ theta <4 pi ).

المحلول

نريد جميع قيم ( theta ) التي ( csc theta = −2 ) عبر الفاصل (0≤ theta <4 pi ).

[ begin {align *} csc theta & = -2 dfrac {1} { sin theta} & = -2 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6} ، space dfrac {11 pi} {6} ، space dfrac {19 pi} {6} ، space dfrac {23 pi} { 6} end {align *} ]

التحليلات

مثل ( sin theta = - dfrac {1} {2} ) ، لاحظ أن جميع الحلول الأربعة تقع في الربعين الثالث والرابع.

مثال ( PageIndex {3C} ): حل معادلة تتضمن الظل

حل المعادلة تمامًا: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

تذكر أن وظيفة الظل لها فترة ( pi ). على الفاصل ([0، pi) ) وبزاوية ( dfrac { pi} {4} ) ، يكون للماس قيمة (1 ). ومع ذلك ، فإن الزاوية التي نريدها هي ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). وبالتالي ، إذا كان ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ) ، إذن

[ begin {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k بي نهاية {محاذاة *} ]

خلال الفترة ([0،2 pi) ) ، لدينا حلين:

( theta = dfrac {3 pi} {4} ) و ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد كل الحلول من أجل ( tan x = sqrt {3} ).

إجابه

( dfrac { pi} {3} pm pi k )

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد جميع حلول المعادلة التي تتضمن الظل

حدد جميع الحلول الدقيقة للمعادلة (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ) ، (0≤x <2 pi ).

المحلول

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الجبر فقط. افصل التعبير ( tan x ) الموجود على الجانب الأيسر من علامة التساوي.

هناك زاويتان على دائرة الوحدة لهما قيمة مماس (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) و ( theta = dfrac {7 pi } {4} ).

حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة

لا يمكن حل جميع الوظائف بالضبط باستخدام دائرة الوحدة فقط. عندما يتعين علينا حل معادلة تتضمن زاوية غير إحدى الزوايا الخاصة ، فسنحتاج إلى استخدام الآلة الحاسبة. تأكد من ضبطه على الوضع المناسب ، إما درجات أو راديان ، اعتمادًا على معايير المشكلة المحددة.

مثال ( PageIndex {5A} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل معادلة مثلثية تتضمن جيب الزاوية

استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة ( sin theta = 0.8 ) حيث ( theta ) بوحدات الراديان.

المحلول

تأكد من ضبط الوضع على راديان. لإيجاد ( theta ) ، استخدم دالة الجيب العكسي. في معظم الآلات الحاسبة ، ستحتاج إلى الضغط على 2اختصار الثاني ثم زر SIN لإظهار الوظيفة ({ sin} ^ {- 1} ). ما يظهر على الشاشة هو ({ sin} ^ {- 1} ) الآلة الحاسبة جاهزة للإدخال داخل الأقواس. لهذه المشكلة ، نقوم بإدخال ({ sin} ^ {- 1} (0.8) ) ، ثم نضغط على ENTER. وهكذا ، إلى أربعة منازل عشرية ،

({ sin} ^ {- 1} (0.8) ≈0.9273 )

الحل

( theta≈0.9273 م 2 بي ك )

قياس الزاوية بالدرجات هو

[ begin {align *} theta & almost 53.1 ^ { circ} theta & almost 180 ^ { circ} -53.1 ^ { circ} & almost 126.9 ^ { circ} end {محاذاة *} ]

التحليلات

لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعيد الزاوية فقط في الأرباع I أو IV لوظيفة الجيب ، لأن هذا هو نطاق الجيب المعكوس. يتم الحصول على الزاوية الأخرى باستخدام ( pi− theta ).

مثال ( PageIndex {5B} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل المعادلة المثلثية التي تتضمن القاطع

استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة ( sec θ = −4، ) مع إعطاء إجابتك بالتقدير الدائري.

المحلول

يمكننا أن نبدأ ببعض الجبر.

[ begin {align *} sec theta & = -4 dfrac {1} { cos theta} & = -4 cos theta & = - dfrac {1} {4} end {محاذاة *} ]

تأكد من أن الوضع MODE بالتقدير الدائري. الآن استخدم الدالة العكسية لجيب التمام

[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & حوالي 1.8235 theta & almost 1.8235 + 2 pi k end {محاذاة *} ]

بما أن ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) و ( pi≈3.14 ) ، فإن (1.8235 ) بين هذين الرقمين ، وبالتالي فإن ( theta≈1.8235 ) يقع في الربع الثاني . جيب التمام سلبي أيضًا في الربع الثالث. لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعيد الزاوية في الأرباع I أو II فقط لدالة جيب التمام ، لأن هذا هو نطاق معكوس جيب التمام. راجع الشكل ( PageIndex {2} ).

إذن ، علينا أيضًا إيجاد قياس الزاوية في الربع III. في الربع الثالث ، الزاوية المرجعية هي ( theta '' pi − 1.8235≈1.3181 ). الحل الآخر في الربع الثالث هو ( ( theta '≈ pi + 1.3181≈4.4597 ).

الحلول هي ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) و ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حل ( cos theta = −0.2 ).

إجابه

( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) و ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )

حل المعادلات المثلثية بالصيغة التربيعية

حل أ معادلة من الدرجة الثانية قد يكون الأمر أكثر تعقيدًا ، ولكن مرة أخرى ، يمكننا استخدام الجبر كما نفعل مع أي معادلة تربيعية. انظر إلى نمط المعادلة. هل هناك أكثر من دالة مثلثية في المعادلة أم هناك دالة واحدة فقط؟ أي دالة مثلثية تربيع؟ إذا كانت هناك دالة واحدة فقط ممثلة وكان أحد المصطلحين تربيعًا ، ففكر في الشكل القياسي للقيمة التربيعية. استبدل الدالة المثلثية بمتغير مثل (x ) أو (u ). إذا جعل التعويض المعادلة تبدو وكأنها معادلة تربيعية ، فيمكننا استخدام نفس الطرق لحل المعادلات التربيعية لحل المعادلات المثلثية.

مثال ( PageIndex {6A} ): حل معادلة مثلثية في صيغة تربيعية

حل المعادلة بالضبط: ({ cos} ^ 2 theta + 3 cos theta − 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

نبدأ باستخدام الاستبدال واستبدال ( cos theta ) بـ (x ). ليس من الضروري استخدام الاستبدال ، ولكنه قد يجعل حل المشكلة بصريًا أسهل. دع ( cos theta = x ). لدينا

(س ^ 2 + 3 س − 1 = 0 )

لا يمكن تحليل المعادلة إلى عوامل ، لذلك سنستخدم الصيغة التربيعية: (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

[ begin {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} & = dfrac {- 3 مساءً sqrt {13}} {2} end {align *} ]

استبدل (x ) بـ ( cos theta ) وحل.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {- 3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]

لاحظ أنه يتم استخدام علامة + فقط. هذا لأننا حصلنا على خطأ عند حل ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) في آلة حاسبة ، لأن مجال دالة جيب التمام العكسي هو ([−1،1] ). ومع ذلك ، هناك حل ثان:

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & almost 1.26 end { محاذاة *} ]

يقع هذا الجانب النهائي للزاوية في الربع الأول. نظرًا لأن جيب التمام موجب أيضًا في الربع الرابع ، فإن الحل الثاني هو

[ begin {align *} theta & = 2 pi - { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & almost 5.02 النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {6B} ): حل معادلة مثلثية في صيغة تربيعية بالتحليل إلى عوامل

حل المعادلة بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta − 5 sin theta + 3 = 0 ) ، (0≤ theta≤2 pi ).

المحلول

باستخدام التجميع ، يمكن تحليل هذه المعادلة التربيعية. إما أن تجري الاستبدال الحقيقي ، ( sin theta = u ) ، أو تخيله ، كما نأخذ في الحسبان:

[ start {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {الآن قم بتعيين كل عامل يساوي الصفر.} 2 sin theta-3 & = 0 2 sin theta & = 3 sin theta & = dfrac {3} {2} sin theta-1 & = 0 sin theta & = 1 end {align *} ]

حل بعد ذلك من أجل ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ) ، لأن نطاق دالة الجيب هو ([−1،1] ). ومع ذلك ، ( sin theta = 1 ) ، بإعطاء الحل ( theta = dfrac { pi} {2} ).

التحليلات

تأكد من التحقق من جميع الحلول في المجال المحدد لأن بعض العوامل ليس لها حل.

تمرين ( PageIndex {6} )

حل ({ sin} ^ 2 theta = 2 cos theta + 2 ) ، (0≤ theta≤2 pi ). [تلميح: إجراء استبدال للتعبير عن المعادلة فقط من ناحية جيب التمام.]

إجابه

( cos theta = −1 ) ( theta = pi )

مثال ( PageIndex {7A} ): حل معادلة مثلثية باستخدام الجبر

حل بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta + sin theta = 0 ؛ space 0≤ theta <2 pi )

المحلول

يجب أن تبدو هذه المشكلة مألوفة لأنها تشبه التربيعية. دع ( sin theta = x ). تصبح المعادلة (2x ^ 2 + x = 0 ). نبدأ بالتحليل:

[ ابدأ {محاذاة *}
2 س ^ 2 + س & = 0
x (2x + 1) & = 0 qquad text {ضع كل عامل مساويًا للصفر.}
س & = 0
2x + 1 & = 0
x & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]
بعد ذلك ، استبدل التعبير الأصلي ( sin theta ) عن (x ) في المعادلة. هكذا،
[ start {align *} sin theta & = 0
ثيتا & = 0 ، pi
sin theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6}
النهاية {محاذاة *} ]

الحلول داخل المجال (0≤ theta <2 pi ) هي ( theta = 0، pi، dfrac {7 pi} {6}، dfrac {11 pi} {6} ).

إذا فضلنا عدم التعويض ، يمكننا حل المعادلة باتباع نفس نمط التحليل وجعل كل عامل مساويًا للصفر.

[ start {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 sin theta & = 0 theta & = 0، pi 2 sin theta + 1 & = 0 2 sin theta & = -1 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]

التحليلات

يمكننا رؤية الحلول على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {3} ). في الفاصل (0≤ theta <2 pi ) ، يتقاطع الرسم البياني مع (x )-المحور أربع مرات ، في الحلول المذكورة. لاحظ أن المعادلات المثلثية التي تكون في شكل تربيعي يمكن أن تسفر عن أربعة حلول بدلاً من المعادلات التربيعية المتوقعة. في هذا المثال ، كل حل (زاوية) يقابل قيمة الجيب الموجبة سينتج زاويتين من شأنها أن تؤدي إلى تلك القيمة.

يمكننا التحقق من الحلول على دائرة الوحدة من خلال النتيجة في القسم الخاص بهويات الجمع والفرق أيضًا.

مثال ( PageIndex {7B} ): حل المعادلة المثلثية التربيعية في الصورة

حل المعادلة التربيعية في الشكل بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

يمكننا التحليل باستخدام التجميع. يمكن العثور على قيم الحل لـ ( theta ) في دائرة الوحدة.

[ start {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 2 sin theta-1 & = 0 sin theta & = dfrac {1 } {2} theta & = dfrac { pi} {6} ، dfrac {5 pi} {6} sin theta & = 1 theta & = dfrac { pi} {2 } نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

حل المعادلة التربيعية (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta = 0 ).

إجابه

( dfrac { pi} {2} ، space dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3} ، space dfrac {3 pi} {2} )

حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات الأساسية

بينما يمكن استخدام الجبر لحل عدد من المعادلات المثلثية ، يمكننا أيضًا استخدام المتطابقات الأساسية لأنها تجعل حل المعادلات أبسط. تذكر أن الأساليب التي نستخدمها في الحل ليست هي نفسها المستخدمة في التحقق من الهويات. تنطبق القواعد الأساسية للجبر هنا ، بدلاً من إعادة كتابة جانب واحد من الهوية لمطابقة الجانب الآخر. في المثال التالي ، نستخدم متطابقتين لتبسيط المعادلة.

مثال ( PageIndex {8A} ): استخدم الهويات لحل معادلة

استخدم المتطابقات لحل المعادلة المثلثية بالضبط عبر الفاصل (0≤x <2 pi ).

( cos x cos (2x) + sin x sin (2x) = dfrac { sqrt {3}} {2} )

المحلول

لاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة هو صيغة الفرق في جيب التمام.

[ start {align *} cos x cos (2x) + sin x sin (2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} cos (x-2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {صيغة الفرق لجيب التمام} cos (-x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {الاستخدام هوية الزاوية السالبة.} cos x & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ]

من دائرة الوحدة في القسم الخاص بمطابقات الجمع والفرق ، نرى أن ( cos x = dfrac { sqrt {3}} {2} ) عندما (x = dfrac { pi} {6} ، space dfrac {11 pi} {6} ).

مثال ( PageIndex {8B} ): حل المعادلة باستخدام صيغة مزدوجة الزاوية

حل المعادلة بالضبط باستخدام صيغة مزدوجة الزاوية: ( cos (2 theta) = cos theta ).

المحلول

لدينا ثلاثة خيارات من المقادير للتعويض عن الزاوية المزدوجة لجيب التمام. نظرًا لأنه من الأسهل حل دالة مثلثية واحدة في كل مرة ، فسنختار متطابقة الزاوية المزدوجة التي تتضمن جيب التمام فقط:

[ begin {align *} cos (2 theta) & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta-1 & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta - cos theta-1 & = 0 (2 cos theta + 1) ( cos theta-1) & = 0 2 cos theta + 1 & = 0 cos theta & = - dfrac {1} {2} cos theta-1 & = 0 cos theta & = 1 end {align *} ]

لذلك ، إذا ( cos theta = - dfrac {1} {2} ) ، إذن ( theta = dfrac {2 pi} {3} pm 2 pi k ) و ( ثيتا = dfrac {4 pi} {3} pm 2 pi k ) ؛ إذا ( cos theta = 1 ) ، ثم ( ثيتا = 0 مساء 2 بي ك ).

مثال ( PageIndex {8C} ): حل معادلة باستخدام هوية

حل المعادلة بالضبط باستخدام المتطابقة: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

إذا أعدنا كتابة الجانب الأيمن ، فيمكننا كتابة المعادلة بدلالة جيب التمام:

[ ابدأ {محاذاة *}
3 cos theta + 3 & = 2 { sin} ^ 2 theta
3 cos theta + 3 & = 2 (1 - { cos} ^ 2 ثيتا)
3 cos theta + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 theta
2 { cos} ^ 2 theta + 3 cos theta + 1 & = 0
(2 cos theta + 1) ( cos theta + 1) & = 0
2 كوس ثيتا + 1 & = 0
cos theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3}
cos ثيتا + 1 & = 0
cos ثيتا & = -1
ثيتا & = بي
النهاية {محاذاة *} ]

حلولنا هي ( theta = dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3} ، space pi ).

حل المعادلات المثلثية ذات الزوايا المتعددة

أحيانًا لا يكون من الممكن حل معادلة مثلثية بمطابقات لها زوايا متعددة ، مثل ( sin (2x) ) أو ( cos (3x) ). عند مواجهة هذه المعادلات ، تذكر أن (y = sin (2x) ) ضغط أفقي بعامل 2 من الدالة (y = sin x ). في فاصل زمني من (2 pi ) ، يمكننا رسم فترتين من (y = sin (2x) ) ، على عكس دورة واحدة من (y = sin x ). يقودنا ضغط الرسم البياني هذا إلى الاعتقاد بأنه قد يكون هناك ضعف x- تداخلات أو حلول لـ ( sin (2x) = 0 ) مقارنة بـ ( sin x = 0 ). ستساعدنا هذه المعلومات في حل المعادلة.

مثال ( PageIndex {9} ): حل معادلة مثلثية متعددة الزوايا

قم بحل بالضبط: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) في ([0،2 pi) ).

المحلول

يمكننا أن نرى أن هذه المعادلة هي المعادلة القياسية بمضاعف زاوية. إذا كان ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ) ، نعلم أن ( alpha ) يقع في الربعين الأول والرابع. بينما ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) لن ينتج عنها سوى حلول في الربعين الأول والثاني ، فإننا ندرك أن حلول المعادلة ( cos theta = dfrac {1} {2} ) في الربعين الأول والرابع.

لذلك ، فإن الزوايا المحتملة هي ( theta = dfrac { pi} {3} ) و ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). لذا ، (2x = dfrac { pi} {3} ) أو (2x = dfrac {5 pi} {3} ) ، مما يعني أن (x = dfrac { pi} {6 } ) أو (x = dfrac {5 pi} {6} ). هل لهذا معنى؟ نعم ، لأن ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).

هل هناك أي إجابات أخرى محتملة؟ دعونا نعود إلى خطوتنا الأولى.

في الربع الأول ، (2x = dfrac { pi} {3} ) ، لذلك (x = dfrac { pi} {6} ) كما هو موضح. دعونا نلتف حول الدائرة مرة أخرى:

[ ابدأ {محاذاة *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3}
& = dfrac {7 pi} {3}
x & = dfrac {7 pi} {6}
text {ينتج عن دوران آخر}
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3}
& = dfrac {13 pi} {3}
النهاية {محاذاة *} ]

(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ) ، لذا فإن قيمة (x ) هذه أكبر من (2 pi ) ، لذا فهي ليست حلاً في ( [0،2 pi) ).

في الربع الرابع ، (2x = dfrac {5 pi} {3} ) ، لذلك (x = dfrac {5 pi} {6} ) كما هو موضح. دعونا نلتف حول الدائرة مرة أخرى:

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]

لذلك (x = dfrac {11 pi} {6} ).

ينتج تناوب واحد

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]

(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ) ، لذا فإن قيمة (x ) هذه أكبر من (2 pi ) ، لذا فهي ليست حلاً في ( [0،2 pi) ).

حلولنا هي (x = dfrac { pi} {6} و space dfrac {5 pi} {6} و space dfrac {7 pi} {6} ) و ( dfrac {11 pi} {6} ). لاحظ أنه عندما نحل مشكلة على شكل (sin (nx) = c ) ، يجب أن نلتف حول دائرة الوحدة (n ) مرات.

حل مشاكل المثلث الأيمن

يمكننا الآن استخدام جميع الطرق التي تعلمناها لحل المشكلات التي تتضمن تطبيق خصائص المثلثات القائمة الزاوية ونظرية فيثاغورس. نبدأ بنظرية فيثاغورس المألوفة ،

[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 label {فيثاغورس} ]

ونمذجة معادلة لتناسب الموقف.

مثال ( PageIndex {10A} ): استخدام نظرية فيثاغورس لصياغة معادلة

يجب استبدال أحد الكابلات التي تثبت مركز عجلة London Eye Ferris بالأرض. مركز عجلة فيريس (69.5 ) متر فوق سطح الأرض ، والمرسى الثاني على الأرض (23 ) متر من قاعدة عجلة فيريس. ما هو طول الكابل تقريبًا ، وما هي زاوية الارتفاع (من الأرض إلى مركز عجلة فيريس)؟ راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

المحلول

استخدم نظرية فيثاغورس (المعادلة المرجع {فيثاغورس}) وخصائص المثلثات القائمة الزاوية لنمذجة معادلة تناسب المشكلة. باستخدام المعلومات المعطاة ، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية. يمكننا إيجاد طول الكابل باستخدام نظرية فيثاغورس.

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 {(23)} ^ 2 + {(69.5)} ^ 2 & almost 5359 sqrt {5359} & almost 73.2 مسافة م نهاية {محاذاة *} ]

زاوية الارتفاع هي ( theta ) ، وتتكون من المرساة الثانية على الأرض والكابل الذي يصل إلى مركز العجلة. يمكننا استخدام دالة الظل لإيجاد قياسها. قرّب لأقرب منزلتين عشريتين.

[ begin {align *} tan theta & = 69.523 { tan} ^ {- 1} (69.523) & حوالي 1.2522 & almost 71.69 ^ { circ} end {align *} ]

زاوية الارتفاع تقريبًا (71.7 درجة ) وطول الكابل (73.2 ) مترًا.

مثال ( PageIndex {10B} ): استخدام نظرية فيثاغورس لصياغة مشكلة مجردة

تتطلب لوائح السلامة OSHA وضع قاعدة السلم (1 ) قدم من الحائط لكل (4 ) أقدام من طول السلم. أوجد الزاوية التي يتشكل منها سلم بأي طول مع الأرض والارتفاع الذي يلامس فيه السلم الحائط.

المحلول

لأي طول سلم ، يجب أن تكون القاعدة مسافة من الجدار تساوي ربع طول السلم. بالتساوي ، إذا كانت قاعدة السلم "أ" قدم من الحائط ، سيكون طول السلم (4 أ ) قدم. راجع الشكل ( PageIndex {5} ).

الضلع المجاور لـ ( theta ) هو (أ ) والوتر هو (4 أ ). هكذا،

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {a} {4a} & = dfrac {1} {4} { cos} ^ {- 1} left ( dfrac { 1} {4} right) & حوالي 75.5 ^ { circ} end {align *} ]

يشكل ارتفاع السلم زاوية (75.5 درجة ) مع الأرض. يمكن إيجاد الارتفاع الذي يلامس فيه السلم الجدار باستخدام نظرية فيثاغورس:

[ start {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2 b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2-a ^ 2 b ^ 2 & = 16a ^ 2- أ ^ 2 b ^ 2 & = 15a ^ 2 b & = a sqrt {15} end {align *} ]

وهكذا ، يلامس السلم الحائط عند (a sqrt {15} ) قدم من الأرض.

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وتدرب على حل المعادلات المثلثية.

  • حل المعادلات المثلثية
  • حل المعادلات المثلثية II
  • حل المعادلات المثلثية III
  • حل المعادلات المثلثية IV
  • حل المعادلات المثلثية V
  • حل المعادلات المثلثية VI

المفاهيم الرئيسية

  • عند حل المعادلات المثلثية الخطية ، يمكننا استخدام الأساليب الجبرية تمامًا كما نفعل مع حل المعادلات الجبرية. ابحث عن الأنماط ، مثل اختلاف المربعات ، أو الشكل التربيعي ، أو التعبير الذي يفسح المجال بشكل جيد للتعويض. راجع المثال ( PageIndex {1} ) ، والمثال ( PageIndex {2} ) ، والمثال ( PageIndex {3} ).
  • يمكن حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية أو التحقق منها باستخدام دائرة الوحدة. راجع المثال ( PageIndex {4} ) ، والمثال ( PageIndex {5} ) ، والمثال ( PageIndex {6} ) ، والمثال ( PageIndex {7} ).
  • يمكننا أيضًا حل المعادلات المثلثية باستخدام حاسبة الرسوم البيانية. راجع المثال ( PageIndex {8} ) والمثال ( PageIndex {9} ).
  • تظهر العديد من المعادلات التربيعية في الشكل. يمكننا استخدام التعويض لجعل المعادلة تبدو أبسط ، ثم نستخدم نفس الأساليب التي نستخدمها في حل المعادلة التربيعية الجبرية: التحليل ، والصيغة التربيعية ، وما إلى ذلك. انظر المثال ( PageIndex {10} ) ، مثال ( PageIndex { 11} ) ، ومثال ( PageIndex {12} ) ، ومثال ( PageIndex {13} ).
  • يمكننا أيضًا استخدام المتطابقات لحل المعادلة المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {14} ) ، والمثال ( PageIndex {15} ) ، والمثال ( PageIndex {16} ).
  • يمكننا استخدام التعويض لحل معادلة مثلثية متعددة الزوايا ، وهي ضغط دالة مثلثية قياسية. سنحتاج إلى أخذ الضغط في الاعتبار والتحقق من أننا وجدنا جميع الحلول في الفترة الزمنية المحددة. راجع المثال ( PageIndex {17} ).
  • يمكن نمذجة سيناريوهات العالم الحقيقي وحلها باستخدام نظرية فيثاغورس والدوال المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {18} ).

منفذ

إذا كان لديك إذن بتحرير هذا المحتوى ، فإن استخدام إجراء "إعادة الاستخدام / التحرير" سيسمح لك بسحب المحتوى إلى مساحة العمل الشخصية الخاصة بك أو مجموعة العمل المشتركة ثم إجراء عمليات التحرير الخاصة بك.

اشتق نسخة

إذا لم يكن لديك إذن بتحرير المحتوى ، فلا يزال بإمكانك استخدام "إعادة الاستخدام / التحرير" لتكييف المحتوى عن طريق إنشاء نسخة مشتقة منه ثم تحرير النسخة ونشرها.

أضف وحدة إلى:

تعريف العدسة

العدسات

العدسة هي عرض مخصص للمحتوى في المستودع. يمكنك التفكير في الأمر كنوع خيالي من القائمة التي ستتيح لك رؤية المحتوى من خلال أعين المنظمات والأشخاص الذين تثق بهم.

ما هو في العدسة؟

يشير صانعو العدسات إلى المواد (الوحدات والمجموعات) ، مما يؤدي إلى إنشاء دليل يتضمن تعليقاتهم الخاصة وعلامات وصفية حول المحتوى.

من يمكنه إنشاء عدسة؟

أي فرد أو مجتمع أو منظمة محترمة.

ما هي العلامات؟

العلامات عبارة عن واصفات يضيفها صانعو العدسات للمساعدة في تسمية المحتوى ، وإرفاق مفردات ذات معنى في سياق العدسة.

أضف وحدة إلى:

"مفضلتي" هي نوع خاص من العدسات يمكنك استخدامه لوضع إشارة مرجعية على الوحدات والمجموعات. لا يمكن لأحد سواك رؤية "مفضلتي" ، ويمكن للمجموعات المحفوظة في "مفضلاتي" تذكر آخر وحدة كنت تعمل فيها. أنت بحاجة إلى حساب لاستخدام "المفضلة".


حل المعادلات المثلثية - المشكلة 3

كانت نورم في المركز الرابع في بطولة الولايات المتحدة الأمريكية لرفع الأثقال لعام 2004! لا يزال يتدرب ويتنافس من حين لآخر ، على الرغم من جدول أعماله المزدحم.

دعونا نتحدث عن معادلة مثلثية أخرى ، هذه المرة معادلة قاطعة. الآن معادلة قاطعة تتضمن دالة متبادلة القاطع. في أي وقت ترى دالة متبادلة ، فأنت تريد تحويلها إلى معادلة مثلث تتضمن جيب التمام أو الظل.

لذا فإن أول شيء سأفعله هو استدعاء هذا 1 على جيب التمام 3x يساوي 2 ، لأن القاطع يساوي 1 على جيب التمام. وبعد ذلك يمكنني أخذ مقلوب كلا الطرفين والحصول على جيب تمام 3 يساوي نصفًا. وهكذا ترى أنني في خطوتين أعلم أنني لم أعد مضطرًا للتعامل مع دالة القاطع وهذا صحيح دائمًا ، فأنت لست مضطرًا أبدًا للتعامل مع دوال المثلث المتبادل عند حل المعادلات المثلثية. يمكنك العودة إلى أحد الأشياء المألوفة.

إذن لدينا جيب تمام 3x يساوي نصفًا ، دعني أجري تعويضًا بسيطًا هنا. هذا ما أفعله عادة عندما يكون لدي شيء آخر غير المتغير داخل دالة حساب المثلثات ، سأسمي هذا ثيتا. وهكذا تصبح معادلتي جيب تمام ثيتا يساوي نصفًا. ويمكنني إيجاد حلول هذه المعادلة على دائرة الوحدة. إذن فهذه دائرة الوحدة ، أحتاج إلى إيجاد الزوايا التي تجعل الإحداثي الأول لهذه النقطة نصفًا ، لأن هذه هي الطريقة التي يتم بها تعريف جيب التمام.

لذلك إذا كنت تتذكر pi على 3 ، فافعل ذلك. تتطلب هذه المسألة بالطبع إيجاد قيمة x في الفترة من 0 درجة إلى 360 درجة. يخبرنا هذا بأمرين ، أولهما أننا لن نريد عددًا لا نهائيًا من الحلول ، وثانيًا أننا نعمل بالدرجات وليس بالراديان. اسمحوا لي على الفور بالتبديل إلى 60 درجة ، pi على 3 تساوي 60 درجة ، وهذا يعطيني حلًا واحدًا.

كيف تحصل على آخر؟ تذكر أن الجيب وجيب التمام لهما حلين عادةً لكل فترة. سيكون هناك حل آخر ومع جيب التمام فإن الحلول الأخرى نظرًا لحقيقة أن جيب التمام يعمل بشكل زوجي ، والمدخلات المعاكسة لها نفس المخرجات. يمكنك أن ترى أنه في دائرة الوحدة بالتفكير في النقاط الموجودة على دائرة الوحدات التي بها إحداثي x يساوي نصفًا؟ هناك واحدة هنا وستكون صورة طبق الأصل لهذه النقطة. إذن سيكون لديك نصف سالب y مشترك مهما كان إحداثي y وستجد أن الحل الثاني سيكون -60 درجة بالتناظر. لذلك من أجل -60 درجة.

الآن للحصول على باقي الحل ، يتعين علينا استخدام الدورية ، لذلك لدينا ثيتا تساوي زائد أو ناقص 60 درجة ، وعندما تتعامل مع الدرجات ، فإن الدورية تعني أنه يمكنك إضافة عدد صحيح مضاعف بمقدار 360 درجة. عادةً نضيف عددًا صحيحًا مضاعفًا لـ 2 pi ، لأن 2 pi هي راديان واحد ولكن الدرجات هي ثورة واحدة بدلاً من ذلك. في الدرجات ثورة واحدة 360 درجة.

لذلك نحن على وشك إعادة الاستبدال ، تذكر أنني استبدلت ثيتا بـ 3x. لذلك سنعود إلى 3x وهذا ما حصلنا عليه. كل ما علينا فعله هو القسمة على 3. إذن القسمة على 3 تعطيني موجب أو سالب 20 درجة زائد n في 120.

Now the problem asked me to find only solutions between 0 and 360, so I don’t want to give this as my final answer because I'm not exactly reading the instructions here, so let me start with 20 degrees. Plus 20 degrees plus 0 times 120 that’s the smallest solution I’m going to get. And then let me start with the 20 degrees and keep adding integer multiples until I leave the interval from 0 to 360. So I’m going to add 120 and get 140.

That one is good. I add 120 again and get 260, also good. Add 120 again and get 380 not the interval, so I wouldn’t include that. Now I know that -20 is not a solution but when I add multiples of 120 degrees I will get solutions, so let me add 120 and get 100 degrees that’s the solution, that one will be. Add another 120, 220, add another, 340 and you can see that if you add another 120 you’ll be outside of the interval. So these are your solutions. 20 ,140, 260, 100, 220 and 340.

And notice the way I worked this out I started with the positive 20 and I added multiples of 120. Here I started with -20 and I added multiples of -120 and I'll just chose this as my final answer so the values actually fall in the intervals 0 and 360, that’s your final answer.


3.5: Solving Trigonometric Equations

Note: If you would like a review of trigonometry, click on trigonometry.

Example 1: Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem. To solve for x, you must first isolate the tangent term.

If we restrict the domain of the tangent function to , we can use the inverse tangent function to solve for reference angle x ', and then x .

The reference angle is The tangent function is positive in the first quadrant and in the third quadrant and negative in the second and fourth quadrant.

The period of the function is This means that the values will repeat every radians in both directions. Therefore, the exact solutions are and where n is an integer.

The approximate solutions are and where n is an integer.

These solutions may or may not be the answers to the original problem. You much check them, either numerically or graphically, with the original equation.

Check answer . x =0.52359877

Since the left side equals the right side when you substitute 0.52359877for x, then 0.52359877 is a solution.

Check answer . x =-0.52359877

Since the left side equals the right side when you substitute -0.52359877for x, then -0.52359877 is a solution.

Graph the equation Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions.

Note that it crosses at 0.52359877. Since the period is , it crosses again at 0.52359877+3.1415927=3.66519 and at tex 2 html c omment m ark > 0.52359877+2(3.1415927)=6.80678, etc.

Note that it crosses at -0.52359877. Since the period is , it crosses again at -0.52359877+3.1415927=2.617899 and at tex 2 html c omment m ark > -0.52359877+2(3.1415927)=5.759587, etc.

If you would like to work another example, click on Example.

If you would like to test yourself by working some problems similar to this example, click on Problem.

If you would like to go to the next section, click on Next.

If you would like to go back to the equation table of contents, click on Contents.


Solving Trigonometric Equations

How would you solve the equation sin θ = 0? You know that θ = 0 is one solution, but this is not the only solution. Any one of the following values of is also a solution.

You can write this infinite solution set as

Solving a Trigonometric Equation

To solve the equation, you should consider that the sine is negative in Quadrants III and IV and that

Thus, you are seeking values of θ in the third and fourth quadrants that have a reference angle of π/3. In the interval [0, 2π], the two angles fitting these criteria are

By adding integer multiples of 2π to each of these solutions, you obtain the following general solution.

Solving a Trigonometric Equation

Solve cos 2 θ = 2 - 3 sin θ, where 0 ≤ θ ≤ 2π.

Using the double-angle identity cos 2 θ = 1 - 2 sin 2 θ, you can rewrite the equation as follows.

cos 2 θ = 2 - 3 sin θ Given equation
1 - 2 sin 2 θ = 2 - 3 sin θ Trigonometric identity
0 = 2 sin 2 θ - 3sin θ + 1 Quadratic form
0 = (2 sin θ )(sin θ - 1 ) Factor.

If 2 sin θ = 0, then sin θ = 1/2 and θ = π/6 or θ = 5π/6. If sin θ - 1, then sin θ = 1 and θ = π/2. Thus, for 0 ≤ θ ≤ 2π, there are three solutions.


3.5: Solving Trigonometric Equations

Note: If you would like a review of trigonometry, click on trigonometry.

Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem.

We can make the solution easier if we convert all the trigonometric terms to like trigonometric terms.

One common trigonometric identity is If we replace the term with , all the trigonometric terms will be tangent terms.

Replace with in the original equation and simplify.

Isolate the tangent term. To do this, rewrite the left side of the equation in an equivalent factored form.

The product of two factors equals zero if at least one of the factors equals zero. This means that if or

We just transformed a difficult problem into two easier problems. To find the solutions to the original equation, , we find the solutions to the equations and

How do we isolate the x in each of these equations? We could take the arctangent of both sides of each equation. However, the tangent function is not a one-to-one function.

Let's restrict the domain so the function is one-to-one on the restricted domain while preserving the original range. The graph of the tangent function is one-to-one on the interval If we restrict the domain of the tangent function to that interval , we can take the arctangent of both sides of each equation.

Since the period of equals , these solutions will repeat every units. The exact solutions are

The approximate values of these solutions are

You can check each solution algebraically by substituting each solution in the original equation. If, after the substitution, the left side of the original equation equals the right side of the original equation, the solution is valid.

You can also check the solutions graphically by graphing the function formed by subtracting the right side of the original equation from the left side of the original equation. The solutions of the original equation are the x-intercepts of this graph.

Since the left side of the original equation equals the right side of the original equation when you substitute 1.249046 for x, then 1.249046 is a solution.

Since the left side of the original equation equals the right side of the original equation when you substitute -0.785398 for x, then -0.785398 is a solution.

We have just verified algebraically that the exact solutions are and and these solutions repeat every units. The approximate values of these solutions are and and these solutions repeat every units.

Graph the equation Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions. Let's check a few of these x-intercepts against the solutions we derived.

Verify the graph crosses the x-axis at -0.785398. Since the period is , you can verify that the graph also crosses the x-axis again at -0.785398+3.14159265=2.356195 and at , etc.

Verify the graph crosses the x-axis at 1.249046. Since the period is , you can verify that the graph also crosses the x-axis again at 1.249046+3.14159265=4.39906387 and at , etc.

Note: If the problem were to find the solutions in the interval , then you choose those solutions from the set of infinite solutions that belong to the set 2.356195, 5.497787, 4.39906387, and

If you would like to work another example, click on Example.

If you would like to test yourself by working some problems similar to this example, click on Problem.

If you would like to go to the next section, click on Next.

If you would like to go back to the equation table of contents, click on Contents.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


Lesson Solving trigonometric equations

DEFINITION. A trig equation is an equation containing one or many trig functions of the variable arc x that rotates on the trig unit circle. Solving for x means finding the values of the variable trig arc x whose trig functions make the trig equation true.
Examples of trig equation:
sin ( x + 30 degree) = 0.75 tan (x + pi/3) = 1.5 sin 2x + cos x = 1 tan x + cot x = 1.732
sin x + sin 2x = sin 3x cos x + cos 2x + cos 3x = 0 sin x - sin 3x = cos 2x
Answers, or values of the solution arcs, are expressed in degrees or radians.
Examples: x = 45 degree x = 47.24 degree x = 25.59 degree
x = Pi/5 x = 3Pi /4 x = 7Pi/12

THE TRIG UNIT CIRCLE.
It is a circle with radius R = 1 unit with the origin O. The unit circle defines the trig functions of the variable arc x that rotates counter-clockwise on the trig circle.
When the arc AM, with value x (in radians or degrees), varies on the trig unit circle:
The horizontal axis OAx defines the function f(x) = cos x.
The vertical axis OBy defines the function f(x) = sin x.
The vertical axis At defines the function f(x) = tan x.
The horizontal axis Bu defines the function f(x) = cot x.

THE PERIODIC PROPERTY OF TRIG FUNCTIONS
All trig functions f(x) are periodic meaning they come back to the same value after the arc x rotates counterclockwise one period on the unit circle. Examples:
The trig function f(x) = sin x has 2Pi as period.
The trig function f(x) = tan x has Pi as period.
The trig function f(x) = sin 2x has Pi as period.
The trig function f(x) = cos x/2 has 4Pi as period.

CONCEPT FOR SOLVING TRIG EQUATIONS
To solve a trig equation transform it into one or many basic trig equations. Solving trig equations finally results in solving basic trig equations.

BASIC TRIG EQUATIONS
They are also called "Trig equations in simplest form". There are 4 types of common basic trig equations: sin x = a cos x = a tan x = a cot x = a.
Solving a basic trig equation proceeds by considering the various positions of the arc x on the trig unit circle and by using the trig conversion tables (or calculators).
Example 1. Solve sin x = 0.866. The 2 answers are given by the trig unit circle and calculators:
Answer 1: x1 = Pi/3 Extended answer: x1 = Pi/3 + 2k.Pi
Answer 2: x2 = 2Pi/3 Extended answer: x2 = 2Pi/3 + 2k.Pi
Example 2. Solve: cos x = -1/2. Two answers are given by the unit circle and conversion table:
Answer 1: x1 = 2Pi/3 Extended answer: x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi
Answer 2: x2 = -2Pi/3 Extended answer: x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi
Example 3. Solve cos x = 0.732. Two answers given by calculator and the unit circle:
Answer 1: x1 = 42.95 degree Extended answer: x1 = 42.95 degree + k.360 degree
Answer 2: x2 = -42.95 degree Extended answer: x2 = -42.95 degree + k.360 degree
Example 4. Solve: cot 2x = 1.732. Trig table and unit circle give:
2x = Pi/6 Extended: 2x = Pi/6 + K.Pi
Answer: x = Pi/12 Extended answer: x = Pi/12 + k.Pi/2.

Example 5. Solve: sin(x - 20 deg.) = 0.5. Trig table and trig unit circle gives:
1) sin (x - 20) = sin 30 deg.-------- 2) sin (x - 20) = sin (180 - 30)
x - 20 = 30 deg. ------------------ x - 20 = 150 deg.
x = 50 deg. ----------------------- x = 170 deg.
Extended x = 50 deg. + k.360 deg. -- Extended x = 170 deg.+ k.360 deg.

Example 6. Solve: sin 2x = cos 3x. The unit circle gives 2 answers:
1) sin 2x = sin (Pi/2 - 3x) ------ 2) sin 2x = sin (Pi - Pi/2 + 3x)
2x = Pi/2 - 3x -------------------- 2x = Pi/2 + 3x
5x = Pi/2 ------------------------- -x = Pi/2
x = Pi/10 ------------------------- x = -Pi/2
Extended x = Pi/10 + k.2Pi --------- Extended: x = -Pi/2 + k.2Pi.

TRANSFORMATION USED IN SOLVING TRIG EQUATIONS.
To transform a trig equation into basic trig equations, use common algebraic transformations (factoring, common factor, polynomial identities. ), definition and properties of trig functions, and trig identities (the most needed). There are 14 common trig identities, called "transformation identities", that are used for the transformation of trig equations. See book titled:"Solving trigonometric equations and inequalities" (Amazon e-book 2010).
Example. The trig equation sin x + sin 2x + sin 3x = 0 can be transformed, using trig identities, into a product of many basic trig equations: 4cos x.sin 3x/2.cos x/2 = 0.
Example. The trig equation cos x + cos 2x + cos 3x = 0 can be transformed, using trig identities, into a product of basic trig equation: cos 2x(2cos x + 1) = 0.
Example. Transform into a product (sin a + cos a).
sin a + cos a = sin a + sin (Pi/2 - a) = 2sin (Pi/4).sin (a + Pi/4)
Example. Transform (sin 2a - sin a) into a product:
sin 2a - sin a = 2sin a.cos a - sin a = sin a.(2cos a - 1).

GRAPHING THE SOLUTION ARCS ON THE UNIT CIRCLE
We can graph to illustrate the solution arcs on the trig unit circle. The terminal points of the solution arcs constitute regular polygons on the trig unit circle.
Example: The terminal points of the solution arcs x = Pi/3 + k.Pi/2 constitute a square on the unit circle.
Example. The solution arcs x = Pi/4 + k.Pi/3 are represented by the vertexes of a regular hexagon on the unit circle.

METHODS FOR SOLVING TRIG EQUATIONS.
There are 2 methods depending on transformation possibilities.

METHOD 1. Transform the given trig equation into a product of basic trig equations. Next, solves these basic trig equations to get all the solution arcs.
Example 7. Solve sin 2x + 2cos x = 0.
Solution: First, transform: sin 2x + 2cos x = 2sin x.cos x + 2cos x = 2cos x(sin x + 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: cos x = 0 and sin x = -1.
Example 8. Solve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.
المحلول. First, use trig identities to transform: (cos x + cos 3x) + cos 2x = 2cos 2x.cos x + cos 2x = cos 2x(2cos x + 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: cos 2x = 0 and cos x = -1/2.
Example 9. Solve sin x - sin 3x = cos 2x.
المحلول. Using trig identity transform the equation.
(sin x - sin 3x) - cos 2x = 2cos 2x.sin x - cos 2x = cos 2x(2sin x - 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: cos 2x = 0 and sin x = 1/2.

METHOD 2. If the given trig equation contains 2 or more trig functions, transform it into an equation containing only one trig function as variable. There are a few tips on how to select the trig function variable. The common variables to select are: sin x = t cos x = t cos 2x = t tan x = t tan x/2 = t.
Example 10. Solve: 3sin^2 x + 2cos x - 2 = 0. Call cos x = t.
المحلول. Replace (sin^2 x) by (1 - cos^2 x) = 1 - t^2.
The equation becomes: 3(1 - t^2) + 2t - 2 = -3t^2 + 2t + 1 = 0.
This is a quadratic equation with 2 real roots: 1 and -1/3. Next, solve the 2 basic trig equations: t = cos x = 1 and t = cos x = -1/3.
Example 11. Solve: tan x + 2tan^2 x - cot x - 2 = 0.
المحلول. Call tan x = t, the equation becomes:
t + 2t^2 - 1/t - 2 = 0 = t^2 + 2t^3 - 1 - 2t = t^2(1 + 2t) - (1 + 2t) = (1 + 2t)(t^2 - 1) = 0.
Next, solve the 2 basic trig equations: (t = tan x = -1/2) and (t^2 = tan^2 x = 1).
Example 12. Solve cos 2x - 3sin x - 2 = 0.
المحلول. Call sin x = t and replace (cos 2x) by (1 - 2sin^2 x).
(1 - 2t^2) - 3t - 2 = -2t^2 - 3t - 1 = 0. Quadratic equation with 2 real roots: -1 and -1/2.
Next, solve the 2 basic trig equations: t = sin x = -1 and t = sin x = -1/2.

SOLVING SPECIAL TYPES OF TRIG EQUATIONS.
There are a few types of trig equations that require specific transformations. Examples:
a.sin x + b.cos x = c
a(sin x + cos x) + b.sin x.cos x = c
a.sin^2 x + b.sin x.cos x + c.cos^2 x = 0

THE COMMON PERIOD OF A TRIG EQUATION
Unless specified in home-works/tests, the trig equation f(x) = 0 must be solved, at least, within a common period. This means we must find all the solution arcs x within this common period. The common period is the least multiple of all the periods of the trig functions presented in the equation. Examples:
The trig equation f(x) = cos x + 2tan x - 2 = 0 has 2Pi as common period.
The equation f(x) = tan x + 2cot x = 0 has Pi as common period.
The equation f(x) = cos2x + sin x = 0 has 2Pi as common period.
The equation f(x) = sin 2x + cos x - sin x/2 = 0 has 4Pi as common period.

CHECKING ANSWERS BY GRAPHING CALCULATORS AFTER SOLVING.
Solving trig equations is a tricky work that often leads to errors and mistakes. After solving, you may check the answers by using graphing calculators. Using appropriate calculator setup, graph the function f(x). The roots of f(x) = 0 will be given in decimals. For examples, Pi is given as 3.14 360 degree is given as 6.28. For more details, see the last chapter of the trig book mentioned above.


Solving Trigonometric Equations

Videos and lessons with examples and solutions for High School students on solving trigonometric equations.

In these lessons, we will learn

  • how to solve trigonometric equations
  • how to solve trigonometric equations by factoring

Solving Trigonometric Equations

When solving trigonometric equations, we find all the angles that make the equation true. If there is no interval given, use periodicity to show the infinite number of solutions. Two ways to visualize the solutions are (1) the graph in the coordinate plane and (2) the unit circle. The unit circle is the more useful of the two in obtaining an answer.

Solving Trigonometric Equations
2 cos x = 1,
sin(2x) = cos x,
2 + cos 2x = 3 cos x,
sin x = tan x

Factoring Trigonometric Equations

Solve trigonometric equations that are factorable or in quadratic form

This video solve a trigonometric equation in quadratic form by factoring.

Solving a Trigonometric Equation by Factoring
2 sin 2 x = 1 + cos x

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


Math2.org Math Tables:

Under its simplest definition, a trigonometric (lit. "triangle-measuring") function, is one of the many functions that relate one non-right angle of a right triangle to the ratio of the lengths of any two sides of the triangle (or vice versa).

Any trigonometric function (f), therefore, always satisfies either of the following equations:

  • If the former equation holds, we can choose any right triangle, then take the measurement of one of the non-right angles, and when we evaluate the trigonometric function at that angle, the result will be the ratio of the lengths of two of the triangle's sides.
  • However, if the latter equation holds, we can chose any right triangle, then compute the ratio of the lengths of two specific sides, and when we evaluate the trigonometric function at any that ratio, the result will be measure of one of the triangles non-right angles. (These are called inverse trig functions since they do the inverse, or vice-versa, of the previous trig functions.)

Since there are three sides and two non-right angles in a right triangle, the trigonometric functions will need a way of specifying which sides are related to which angle. (It is not-so-useful to know that the ratio of the lengths of two sides equals 2 if we do not know which of the three sides we are talking about. Likewise, if we determine that one of the angles is 40°, it would be nice to know of which angle this statement is true.

Under a certain convention, we label the sides as opposite, adjacent، و وتر relative to our angle of interest q . full explaination

As mentioned previously, the first type of trigonometric function, which relates an angle to a side ratio, always satisfies the following equation:

f( q ) =
opp/opp
f( q ) =
opp/adj
f( q ) =
opp/hyp
f( q ) =
adj/opp
f( q ) =
adj/adj
f( q ) =
adj/hyp
f( q ) =
hyp/opp
f( q ) =
hyp/adj
f( q ) =
hyp/hyp

The three diagonal functions shown in red always equal one. They are degenerate and, therefore, are of no use to us. We therefore remove these degenerate functions and assign labels to the remaining six, usually written in the following order:

sine( q ) = opp/hypcosecant( q ) = hyp/opp
cosine( q ) = adj/hypsecant( q ) = hyp/adj
tangent( q ) = opp/adjcotangent( q ) = adj/opp

Furthermore, the functions are usually abbreviated: sine (sin), cosine (cos), tangent (tan) cosecant (csc), secant (sec), and cotangent (cot).

Do not be overwhelmed. By far, the two most important trig functions to remember are sine and cosine. All the other trig functions of the first kind can be derived from these two funcions. For example, the functions on the right are merely the multiplicative inverse of the corresponding function on the left (that makes them much less useful). Futhermore, the sin(x) / cos(x) = (opp/hyp) / (adj/hyp) = opp / adj = tan(x). Therefore, the tangent function is the same as the quotient of the sine and cosine functions (the tangent function is still fairly handy).

sin( q ) = opp/hypcsc( q ) = 1/sin( q )
cos( q ) = adj/hypsec( q ) = 1/cos( q )
tan( q ) = sin( q )/cos( q )cot( q ) = 1/tan( q )

Let's examine these functions further. You will notice that there are the sine, secant, and tangent functions, and there are corresponding "co"-functions. They get their odd names from various similar ideas in geometry. You may suggest that the cofunctions should be relabeled to be the multiplicative inverses of the corresponding sine, secant, and tangent functions. However, there is a method to this madness. أ cofunction of a given trig function (f) is, by definition, the function obtained after the complement its parameter is taken. Since the complement of any angle q is 90° - q , the the fact that the following relations can be shown to hold

The trig functions evaluate differently depending on the units on q , such as degrees, radians, or grads. For example, sin(90°) = 1, while sin(90)=0.89399. explaination

Just as we can define trigonometric functions of the form

inverse functions
arcsine(opp/hyp)
= q
arccosecant(hyp/opp)
= q
arccosine(adj/hyp)
= q
arcsecant(hyp/adj)
= q
arctangent(opp/adj)
= q
arccotangent(adj/opp)
= q

As before, the functions are usually abbreviated: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctan) arccosecant (arccsc), arcsecant (arcsec), and arccotangent (arccot). According to the standard notation for inverse functions (f -1 ), you will also often see these written as sin -1 , cos -1 , tan -1 csc -1 , sec -1 , and cot -1 . Beware: There is another common notation that writes the square of the trig functions, such as (sin(x)) 2 as sin 2 (x). This can be confusing, for you then قد then be lead to think that sin -1 (x) = (sin(x)) -1 , which is ليس true. The negative one superscript here is a special notation that denotes inverse functions (not multiplicative inverses).


شاهد الفيديو: المعادلات المثلثية حصة 1 طرق سهلة جدا ومفهومه (شهر نوفمبر 2021).