مقالات

8.1.E: مشاكل في الدوال القابلة للقياس والابتدائية في ((S، mathcal {M}) ) - الرياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

املأ جميع تفاصيل الإثبات في المترادفات 2 و 3 والنظريات 1 و 2.

تمرين ( PageIndex {2} )

بيّن أن ( mathcal {P} ^ { prime} cap P ^ { prime prime} ) كما هو مذكور في نهاية التعريف 2.

تمرين ( PageIndex {3} )

معطى (A subseteq S ) و (f، f_ {m}: S rightarrow left (T، rho ^ { prime} right)، m = 1،2، ldots، ) دعنا
[
H = A left (f_ {m} rightarrow f right)
]
و
[
A_ {m n} = A left ( rho ^ { prime} left (f_ {m}، f right) < frac {1} {n} right).
]
اثبت ذلك
(i) (H = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} bigcup_ {k = 1} ^ { infty} bigcap_ {m = k} ^ { infty} A_ {m n}؛ )
(ii) (H in mathcal {M} ) إذا كانت جميع (A_ {mn} ) في ( mathcal {M} ) و ( mathcal {M} ) هي ( سيغما ) - خاتم.
[تلميح: (x in H ) iff
[
( forall n) ( موجود k) ( forall m geq k) quad x in A_ {m n}.
]
لماذا؟]

تمرين ( PageIndex {3 '} )

حل المشكلة 3 لـ (T = E ^ {*} ) و (f = pm infty ) على (H ).
[تلميح: If ( left.f = + infty، A_ {m n} = A left (f_ {m}> n right) cdot right] )

تمرين ( PageIndex {4} )

( Rightarrow 4 ). لنفترض أن (f: S rightarrow T ) ( mathcal {M} ) - الابتدائية في (A، ) مع ( mathcal {M} ) a ( sigma ) -ring in (س ) أظهر ما يلي.
(i) (A (f = a) in mathcal {M}، A (f neq a) in mathcal {M} ).
(ب) إذا (T = E ^ {*}، ) إذن
(A (f a) ، ) و (A (f geq a) )
في ( mathcal {M}، ) أيضًا.
(iii) (( forall B subseteq T) A cap f ^ {- 1} [B] in mathcal {M} ).
[تلميح: إذا
[
A = bigcup_ {i-1} ^ { infty} A_ {i}
]
و ( left.f = a_ {i} text {on} A_ {i}، text {then} A (f = a) text {هو الاتحاد المعدود لهؤلاء} A_ {i} text { من أجلها} أ_ {i} = أ. حق] )

تمرين ( PageIndex {5} )

حل مشكلة (4 ( mathrm {i}) ) قابلة للقياس (f ).
[تلميح: إذا (f = lim f_ {m} ) للخرائط الأولية (f_ {m}، ) إذن
[
H = A (f = a) = A left (f_ {m} rightarrow a right).
]
Express (H ) كما في المشكلة (3، ) مع
[
A_ {m n} = A left (h_ {m} < frac {1} {n} right) ،
]
حيث (h_ {m} = rho ^ { prime} left (f_ {m} ، a right) ) أساسي. (لماذا؟) ثم استخدم المشكلات (4 ( text {ii) and} 3 ( text {ii}).] )

تمرين ( PageIndex {6} )

( Rightarrow 6 ). معطى (f، g: S rightarrow left (T، rho ^ { prime} right)، ) let (h = rho ^ { prime} (f، g)، ) أي ،
[
ح (س) = rho ^ { رئيس} (و (س) ، ز (س)).
]
أثبت أنه إذا كان (f ) و (g ) أساسيين ، أو بسيطين ، أو قابلين للقياس في (A ، ) كذلك هو (h. )
[تلميح: جدال كما في النظرية 1. استخدم النظرية (4 text {in Chapter} 3، §15.] )

تمرين ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7 ). ( left. text {A set} left.B subseteq left (T، rho ^ { prime} right) text {يسمى قابل للفصل (in} T right) text {iff} B subseteq overline {D} text {(إغلاق} D right) ) لمجموعة معدودة (D subseteq T ).
أثبت أنه إذا كان (f: S rightarrow T ) ( mathcal {M} ) - قابل للقياس على (A، ) فإن (f [A] ) يمكن فصله في (T. )
[تلميح: (f = lim f_ {m} ) للخرائط الأولية (f_ {m}؛ ) قل ،
[
f_ {m} = a_ {m i} text {on} A_ {m i} in mathcal {M}، quad i = 1،2، ldots
]
لنفترض أن (D ) يتكون من جميع (a_ {m mathrm {i}} (m، i = 1،2، ldots)؛ ) لذا فإن (D ) قابل للعد (لماذا؟) و ( د مجموعة فرعية T ).
تحقق من أن
[
( forall y in f [A]) ( موجود x في A) quad y = f (x) = lim f_ {m} (x)،
]
مع (f_ {m} (x) في D. ) ومن ثم
[
( forall y in f [A]) quad y in overline {D} ،
]
بواسطة Theorem (3 text {of Chapter} 3، §16.] )

تمرين ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8 ). استمرار المشكلة (7، ) إثبات أنه إذا (B subseteq overline {D} ) و (D = left {q_ {1} ، q_ {2} ، ldots right } ، ) ومن بعد
[
( forall n) quad B subseteq bigcup_ {i = 1} ^ { infty} G_ {q_ {i}} left ( frac {1} {n} right) ،
]
[تلميح: إذا كان (p in B subseteq overline {D} ، ) أي (G_ {p} left ( frac {1} {n} right) ) يحتوي على بعض (q_ {1 } في D ؛ ) لذلك
[
rho ^ { prime} left (p، q_ {i} right) < frac {1} {n}، text {or} p in G_ {q_ {i}} left ( frac { 1} {n} صحيح).
]
هكذا
[
يسار. ( forall p in B) quad p in bigcup_ {i-1} ^ { infty} G_ {q_ {i}} left ( frac {1} {n} right) cdot right]
]

تمرين ( PageIndex {9} )

اثبِت المتلازمات 2 و 3 والنظريات 1 و (2، ) بافتراض أن ( mathcal {M} ) هي صيغة نصف فقط

تمرين ( PageIndex {10} )

حل المشكلة 4 لـ ( mathcal {M} ) - خرائط بسيطة ، بافتراض أن ( mathcal {M} ) عبارة عن حلقة فقط.


شاهد الفيديو: رياضيات. قواعد الدوال القابلة للإشتقاق الجزء 1. ثاني ثانوي - علمي (شهر نوفمبر 2021).